Fakultät (facultas, lat. Möglichkeit): In der Mathematik diejenige Zahl, die angibt, auf wieviele Weisen eine gegebene Anzahl von Gegenständen in einer Reihe angeordnet werden kann. Sind n Gegenstände gegeben (wobei n eine natürliche Zahl ist), so wird ihre Fakultät n! (gesprochen: »n Fakultät«) geschrieben und kann durch das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n berechnet werden:
n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n.
Der Grund dafür ist, daß man, möchte man die n Gegenstände auf n numerierten Positionen in einer Reihe plazieren, für den ersten Gegenstand genau n freie Positionen als Auswahlmöglichkeit hat, für den zweiten nur noch n − 1 (da eine Position ja schon besetzt ist), für den dritten n − 2 usw., bis man für den letzten Gegenstand nur noch eine freie Position zur Verfügung hat. Insgesamt ergeben sich also n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 1 Möglichkeiten der Positionszuweisung.
Zum Beispiel lassen sich drei Gegenstände auf 3! = 1 · 2 · 3 = 6 Weisen anordnen (diese lauten für die drei Buchstaben a, b und c: abc, acb, bac, bca, cab, cba), vier
auf 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 Weisen usw.
Es gelten
0! = 1,
1! = 1,
2! = 2,
3! = 6,
4! = 24,
5! = 120,
6! = 720,
7! = 5040,
8! = 40320,
9! = 362880
usw. Außerdem gilt die Rekursionsformel
(n + 1)! = (n + 1) · n!.
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